Stabilitet av statisk atmosfære

Skrevet 6. desember 2025 av A M Raaen

Drivhuseffekten har med jordas energibalanse å gjøre. Når konsentrasjonen av drivhusgasser øker, vil høyden som energien i gjennomsnitt stråler ut fra øke. Hva som skjer ved jordoverflaten avhenger da av temperatur-profilen i atmosfæren.

Det er velkjent at temperaturen avtar med høyden. Derfor, når utstrålingshøyden øker blir overflaten varmere.

Det er fascinerende at temperatur-profilen i atmosfæren i grove trekk bestemmes av svært enkle argumenter, basert på stabiliteten til en statisk atmosfære.

Kraftlikevekten

Det fundamentale kravet for stabiliteten til atmosfæren er at hvis man ser på et lite volumelement, må forskjellen mellom trykk-kraft nedenfra og trykk-kraft ovenfra akkurat være nok til å bære tyngden av dette volumelementet. Sagt på en annen måte, trykket på en gitt høyde er akkurat stort nok til å bære vekten av overliggende atmosfære.

Stabilitet

Men at kraftlikevekt er oppfylt er ikke et tilstrekkelig kriterium: likevekten må være stabil.

Dette er illustert i et enkelt mekanisk system i figuren under. For begge de to kulene er kraftlikevekt oppfyllt, men de oppfører seg vidt forskjellig om det kommer en liten forstyrrelse. Den røde til venstre finner tilbake til sin posisjon, mens den blå til høyre forsvinner. Til venstre er likevekten stabil, til høyre er likevekten ustabil.

For atmosfæren er tilsvarende spørsmål hva som skjer om et lite element av luft beveger seg oppover. Hvis det får mindre tetthet enn omgivelsene på den nye høyden, vil det fortsette videre: Likevekten er ustabil. Får det større tetthet enn omgivelsene på den nye høyden, vil det bevege seg ned til utgangspunktet: Likevekten er stabil.

Når man analyserer situasjonen, finner man at en tørr atmosfære vil være stabil om temperaturen faller med 9,8 grader eller mindre per kilometer. Faller den mer enn 9,8 grader per kilometer er atmosfæren ustabil.

Dette betyr om det er «noe» som avkjøler atmofæren slik at temperaturen faller mer enn 9,8 grader per kilometer, vil atmosfæren bli ustabil, og søke mot 9,8 grader per kilometer. Dette betyr at for en tørr atmosfære vil en svært ofte observere omtrent 9,8 grader per kilometer. For en fuktig atmosfære er tallet noe lavere.

Dette «noe» som tillater atmosfæren å kvitte seg med energi er drivhusgassene (og skyene). Drivhusgassene er derfor sterkt medskyldig i at atmosfæren over alt har omtrent samme temperaturutvikling med høyde (med en korreksjon for fuktighet).

Noen likninger – litt termodynamikk

Jeg viser nå hvordan konklusjonen over støttes av fundamentale termodynamiske likninger.

Utgangspunktet er kraftlikevekten, som kan skrives

(1)   \begin{equation*} \frac{d p}{d z}= -\rho g \end{equation*}

Her er p trykket, \rho tettheten og g tyngdens akserelasjon. Vi lar z-aksen peke oppover. Vi bruker så den ideelle gassloven

(2)   \begin{equation*} p V = n R T \end{equation*}

Ved å bruke molvekten M kan vi skrive dette som

(3)   \begin{equation*} p = \frac{M n}{V} R T \frac{1}{M}= \rho \frac{R}{M}T \end{equation*}

Med dette kan vi eliminere \rho i (1), og får

(4)   \begin{equation*} \frac{d p}{d z}= -p \frac{M g}{R}\frac{1}{T} \end{equation*}

For å forenkle litt, antar vi nå at temperaturen avtar (eller stiger om \alpha er negativ) lineært med høyden:

(5)   \begin{equation*} T = T_0 -\alpha z \end{equation*}

Da blir (4)

(6)   \begin{equation*} \frac{dp}{p}= -\frac{M g}{R}\frac{1}{T_0-\alpha z} dz \end{equation*}

som integreres til

(7)   \begin{equation*} \ln\frac{p}{p_0}= \frac{M g}{R\alpha}\ln\frac{T_0-\alpha z}{T_0} \end{equation*}

og dermed

(8)   \begin{equation*} p=p_0 \left(1-\frac{\alpha z}{T_0}\right)^\frac{Mg}{R\alpha} \end{equation*}

Vi kan nå bruke (3) til å introdusere tettheten:

(9)   \begin{equation*} \rho \frac{R}{M}(T_0-\alpha z)=\rho_0 \frac{R}{M}T_0 \left(1-\frac{\alpha z}{T_0}\right)^\frac{Mg}{R\alpha} \end{equation*}

og dermed

(10)   \begin{equation*} \rho=\rho_0 \left(1-\frac{\alpha z}{T_0}\right)^{\frac{Mg}{R\alpha}-1} \end{equation*}

Vi trenger å vite hvordan denne funksjonen endrer seg rundt en gitt høyde z. Vi kan derivere direkte, men kommer litt enklere til målet ved å ta logaritmen på begge sider først

(11)   \begin{equation*} \ln \rho=\ln \rho_0 + (\frac{Mg}{R\alpha}-1) \ln(1-\frac{\alpha z}{T_0}) \end{equation*}

Derivering:

(12)   \begin{equation*} \frac{\rho'}{\rho}=(\frac{Mg}{R\alpha}-1) \frac{-\frac{\alpha}{T_0}}{1-\frac{\alpha z}{T_0}}=-(\frac{Mg}{R\alpha}-1)\frac{\alpha}{T} \end{equation*}

Altså

(13)   \begin{equation*} \rho'=-\rho (\frac{Mg}{R\alpha}-1)\frac{\alpha}{T}=-\rho (\frac{Mg}{R}-\alpha)\frac{1}{T} \end{equation*}

Dette viser altså hvordan tettheten avtar oppover i henhold til kraftlikevekten. Alle \alpha, positive og negative, oppfyller likevekten. Kraftlikevekt alene kan ikke bestemme \alpha.

Neste trinn er å sjekke stabiliteten.

Adiabatisk volumforandring

Når et lite luftelement beveger seg, er det en god antagelse å anta at det ikke utveksler varme med omgivelsene. Dette kalles en adiabatisk prosess, og da gjelder følgende relasjon mellom tetthet og trykk:

(14)   \begin{equation*} \frac{p}{\rho^\gamma}=\mathrm{const} \end{equation*}

\gamma er den adiabatiske konstant. Vi må finne ut hvordan dette uttrykket endrer seg ved en gitt z. Igjen er det nyttig å ta logaritmen før derivering:

(15)   \begin{equation*} \ln p -\gamma \ln\rho=\ln(\mathrm{const}) \end{equation*}

Ved derivasjon

(16)   \begin{equation*} \frac{p'}{p}-\gamma \frac{\rho'}{\rho}=0 \end{equation*}

Vi ordner litt, og setter inn for p' fra likning (1)

(17)   \begin{equation*} \frac{\rho'}{\rho}= \frac{1}{\gamma}\frac{p'}{p}=-\frac{1}{\gamma}\frac{\rho g}{p} \end{equation*}

På høyre siden kan vi eliminere p og \rho med ideell gass likningen (3)

(18)   \begin{equation*} \frac{\rho'}{\rho}= \frac{1}{\gamma}\frac{p'}{p}=-\frac{1}{\gamma}g\frac{M}{R T} \end{equation*}

Altså

(19)   \begin{equation*} \rho'=-\rho\frac{Mg}{\gamma R T} \end{equation*}

Vi har nå to likninger (13) og (19) for den deriverte av tettheten \rho. Den første viser hva kraftlikevekten krever, den andre viser hva som vil skje med et lite element som beveger seg oppover. Fra innledningen husker vi at atmofæren er stabil om det lille elementet som har beveget seg oppover har større tetthet en omgivelsene, altså at tettheten må ha endret seg mindre enn det kraftlikevekten krever. Kravet for stabilitet blir da

(20)   \begin{equation*} \frac{M g}{\gamma R T} < \frac{M g}{RT}-\frac{\alpha}{T} \end{equation*}

som betyr

(21)   \begin{equation*} \alpha < \frac{Mg}{R}-\frac{M g}{\gamma R}=\frac{Mg}{R}\left(1-\frac{1}{\gamma}\right)=\frac{Mg}{R}\frac{\gamma -1}{\gamma} \end{equation*}

Tallverdi

Vi kan nå sette inn tallverdier. For luft er molvekten nær 29 gram per mol, tyngdens akserelasjon er omtrent 9,8 m/\mathrm{s}^2, den universelle gasskonstanten er omtrent 8,3 J/(K mol), og for en 2-atomig gass, som dominerer atmosfæren, er \gamma nær 1,4.

Vi får da stabilitetskriteriet som

(22)   \begin{equation*} \alpha < 9,8\, \mathrm{K}/\mathrm{km} \end{equation*}

Dette stemmer med noe alle fjellvandrere vet: Temperaturen faller typisk med 1 grad per 100 meter. Den enkle, statiske utledningen over er derfor hovedmekanismen som bestemmer den storskala temperatur-profilen i atmosfæren. Det er derfor man ofte ser temperaturen mot høyde omtalt som «adiabaten».

Forbehold

Utledningen har gjentatte ganger brukt den ideelle gassloven. For atmosfærisk trykk er det en svært god tilnærmelse til oppførselen til de fleste gassene, men det er et viktig unntak: vanndampen.

Årsaken er at luften bare kan ha en viss andel vanndamp, og denne andelen blir mindre når det blir kaldere. Når fuktig luft stiger vil den derfor kondensere til vann, og fordampningsvarmen frigjøres. Det bidrar til å varme opp atmosfæren, slik at temperaturen faller noe mindre med høyden, «den fuktige adiabat».

Drivhusgassenes rolle

For at statisk stabilitet skal gi en så nær universal temperaturstruktur i atmosfæren, er det en fundamental forutsetning: Drivhusgassene må avkjøle atmosfæren så mye at ustabiliteten (konveksjonen) starter.

For de nederste omtrent 10 km av atmosfæren, troposfæren, gjelder følgende med god tilnærmelse:

Solen varmer overflaten, som varmer atmosfæren nedenfra. Drivhusgassene bidrar til at troposfæren kvitter seg med energi, gradienten blir så høy at konveksjonen drives, og en nær universell temperatur-struktur oppstår (9,8 grader per km i tørre forhold, en del mindre i fuktige forhold.)

Når vi slipper mer drivhusgasser inn i atmosfæren, vil det ikke påvirke temperatur-gradienten: Det er allerede nok drivhusgasser til å gi nok kjøling til at konveksjonen drives. Men mer drivhusgasser betyr en atmosfære som er tettere for stråling, og strålingen som unnslipper til verdensrommet og styrer planetens energibalanse må starte lenger oppe. Det betyr flere høydemetere for konveksjonen å virke på, og større forskjell mellom temperaturen ved den midlere utstrålingshøyden og overflaten.

Ingen som har forstått denne sammenhengen, kan være det minste i tvil om at økt innhold av drivhusgasser er en driver for økt temperatur. Det er ikke et tvilsspørsmål.

Hvor mye avhenger imidlertid f.eks. av hva som skjer med skyene, og mange andre mekanismer. Det er et komplisert spørsmål som denne enkle analysen ikke kan besvare.

Den enkle, robuste fysikken sammen med temperaturutviklingen, spesielt de siste 50 år, etterlater lite tvil. Når aldrende politikere likevel stiller spørsmål om CO2’s effekt framstår det kun som ideologi. Totalt uansvarlig ideologi. Jeg minner om hva nobelprisvinner i fysikk Steven Weinberg skrev: «It is generally foolish to bet against the judgements of science, and in this case, where the planet is at stake, it is insane.»

Stratosfæren

Går man til neste lag i atmosfæren, stratosfæren, er omstendighetene andre. Her bidrar osons absorpsjon av ultrafiolett solstråling til en ekstra varmekilde. Temperaturen øker med høyden, og konveksjon stopper opp. («Strato» kommer fra gammelt gresk og betyr noe sånt som lagdelt.) Det er derfor mye mindre vertikal miksing i stratosfæren enn i troposfæren.

Sluttbemerkning

Jeg har prøvd å gjøre presentasjonen av likningene så lett tilgjengelig som mulig ved å ta med mange mellomtrinn. De som fulgte godt med i fysikk- og matematikk-timene på videregående burde kunne følge argumentasjonen.

Mangler man bakgrunn i fysikk og matematikk fra videregående, er det nok krevende å forstå hva som skjer.

Det er fullt mulig å tenke seg at ideologer som uttaler seg om CO2’s effekt kan ha problemer med likningene.

I så fall vil jeg presisere at det jeg har presentert er aldeles elementært, og legger nok beslag på bare en del av en av de aller første forelesningene i et grunnkurs i fluidmekanikk. Det er svært langt opp før man kan lese og forstå mye av publikasjonene i klimavitenskapen.

Ettertanke

Man vil observere at vi antok en lineær utvikling av temperatur med høyden, og endte opp med en lineær utvkling av temperaturen med høyden. Er argumentet sirkulært?

Men: Det var bare i første del vi gjorde denne antagelsen. Kraftlikevekten i seg selv kan ikke bestemme temperatur-gradienten.

I andre del, der vi lot den adiabatiske lov styre, gjorde vi ingen a priori antagelse om temperaturen, og endte opp med en temperatur som faller lineært med høyden.

Jeg valgte å beregne tettheten i begge tilfellene, fordi sammenlikning av tetthetene umiddelbart knytter forbindelsen til atmosfærens stabilitet. Drivhusgassenes nødvendige rolle for å gi et utgangspunkt for konveksjonen blir aldeles åpenbar. Til sammen forklarer dette hvorfor atmosfæren under normale forhold ender opp med den adiabatiske temperaturgradienten, 9,8 grader per kilometer i tørr atmosfære.

Vi kan lett gå direkte fra likning (19) for tettheten til en likning for temperaturen. Vi tar utgangspunkt i den adiabatiske likningen (14), og bruker den ideelle gassloven (2) til å eliminere p.

Da finner vi

(23)   \begin{equation*} \rho \,T^\frac{1}{1-\gamma}=\mathrm{const} \end{equation*}

Vi tar som før logaritmen

(24)   \begin{equation*} \ln{\rho}+\frac{1}{1-\gamma}}\ln T=\ln(\mathrm{const}) \end{equation*}

og deriverer

(25)   \begin{equation*} \frac{\rho'}{\rho} + \frac{1}{1-\gamma}\frac{T'}{T} = 0 \end{equation*}

Dermed har vi ved hjelp av (19)

(26)   \begin{equation*} T' =T (1-\gamma)\frac{\rho'}{\rho}=T (1-\gamma)\frac{Mg}{\gamma R T}=-\frac{Mg}{R}\frac{\gamma-1}{\gamma} \end{equation*}

Ved å anta at trykket følger likevektslikningen (det må det!) og at sammenhengen mellom trykk og temperatur er gitt av den adiabatiske lov, har vi altså funnet at stigningstallet til temperaturen er konstant over troposfærens høyde, og lik et temperaturfall på 9,8 grader per kilometer under tørre forhold.

Utledningen i dette avsnittet er mer kompakt, men gir ikke på samme måte innsikt i hvorfor atmosfæren beveger seg mot «adiabaten» – for det trenger vi stabilitetsanalysen.

Kilder

Ideen til presentasjonen her er hentet fra et gammelt notat fra forelesninger i et innføringskurs i fluidmekanikk, gitt av (senere) professor Tor Ytrehus i 1975. Jeg har prøvd å forenkle mest mulig, og tatt med mer mellomregninger. Jeg har også brukt Hemmers Termisk fysikk, se side 32-33. All argumentasjon rundt drivhusgasser er min egen – de var mindre framme i 1975.

Sitatet fra Weinberg er fra kapittel 20 i hans bok «Third thoughts» fra 2018. Setningen ble opprinnelig uttalt 16. juni 2017, da Weinberg var en av 4 som ble æresdoktor ved Rockefeller University.

Dette innlegget ble publisert i Ukategorisert. Bokmerk permalenken.

Legg igjen en kommentar